Eratóstenes y la Medida de la Circunferencia de la Tierra

Introducción

En este trabajo mostraremos como hemos recreado el experimento realizado por Eratóstenes de Cirene hace más de 2000 años. Eratóstenes consiguió dar una aproximación bastante ajustada al radio terrestre real con un sencillo proceso de investigación en el cual incluso demostró que la tierra es redonda.

Lo que motivó a nuestro científico fue un rumor que llegó a sus oídos, en el que se decía que un determinado día del año, en la ciudad de Siena, actual Asuán, a la hora de la culminación, los objetos no arrojaban sombra. Esto provocó una extraña reacción en la población, que llegó a asustarse ante este hecho. Siempre inquieto, Eratóstenes decidió investigar acerca de este extraño fenómeno.

Ahora nosotros, los batas blancas, seguiremos sus pasos para obtener otro resultado, esta vez, esperemos, más exacto, gracias al desarrollo tecnológico con el que contamos.

Toma de datos

Lo primero que haremos será tomar los datos del ángulo de la sombra en Madrid.

La recogida de datos se llevó a cabo el día 25 de Octubre de 2014 desde las 12:30 hasta las 15:20.

Para ello extendimos en el suelo un gran trozo de papel kraft, sobre el cual situamos un gnomon, compuesto por un recogedor, cuya altura, es aproximadamente de 77,76 centímetros.

El procedimiento que empleamos para obtener los datos marcar cada 5 minutos la posición de la sombra del gnomon como se muestra en el vídeo.

Tras la toma de datos obtenemos la trayectoria que ha seguido el sol en ese intervalo de tiempo de 2 horas 50 minutos.

Es el momento de hallar la hora cénit, es decir, el punto más alto del sol. Para ello llevaremos a cabo lo siguiente:

Sobre nuestros datos recogidos en el papel kraft realizaremos varios arcos de circunferencia tomando como centro el punto del gnomon del que parte el palo del recogedor.

Los arcos pueden ser de cualquier radio, pero es importante que corten a dos de los puntos que hemos tomado antes. Haremos un mínimo de dos arcos distintos.

Los puntos que tenemos dentro del mismo arco de circunferencia están a la misma distancia del centro, y sabemos que entre ellos se encuentra el punto más alto.

En esta representación virtual entenderemos mejor lo que hemos hecho:

Para hallar el punto del cénit solo nos falta hacer una mediatriz entre un segmento que hagamos entre los dos puntos. Aquí dejamos un vídeo con todo el proceso.

El resultado será el cénit, y para saber su hora veremos dónde se encuentra con relación a las medidas que tenga a su alrededor.

Finalmente determinamos que el cénit se produjo en el momento de las 14:03

Este dato experimental se acerca al real, y tan solo se diferencian por 3 minutos según fuentes del Observatorio Naval de Estados Unidos:

Estos datos teóricos corresponden a la hora solar, y al encontrarnos aún en horario de verano, nuestra hora es el resultado de sumar 2 horas a la hora solar.

Para comprobarlo, realizaremos un experimento. Con los datos del día de hoy, 17 de Octubre de 2014, intentaremos ver si el dato correspondiente a la puesta de sol se corresponde, y así tendremos una idea de si los datos son correctos.

Según este servicio, la puesta de sol de hoy era a las 20:20 hora española (Recordar sumar 2 horas) Esta imagen tomada hoy mismo a las 20:09 muestra el panorama solar a esa hora:

Habiendo comprobado esto, podemos concretar que nuestra fuente es fiable.

Cálculos sobre el radio de la Tierra

Tras tomar todos los datos nos ponemos a calcular el radio de la Tierra, para ello es necesario tomar la medidas antes mencionadas desde dos puntos distintos del globo terrestre. Lo ideal sería que ambos puntos estuviesen situados en la misma longitud, sin embargo esto no ha sido posible en nuestro caso. No obstante el experimento se puede realizar de la misma forma, aunque haciendo unos pequeños ajustes. Nosotros, personalmente hemos solicitado las medidas al Centro Educacional Nosso Mundo en Brasil.

Medidas:

Coordenadas: 40º 30' 36'' N ; 3º 36' 40'' O

Coordenadas: 22º 57' 0'' S; 43º 30' 0'' O

(h --> altura del gnomon)

(l --> longitud de la sombra)

A continuación calculamos la distancia que hay entre los dos puntos. Para ello es necesario conocer la distancia entre cada punto y el Ecuador.

Distancia Colegio Base - Ecuador = 4452,08 km

Distancia Centro Nosso Mundo - Ecuador = 2448.64 km

 Finalmente para averiguar la distancia entre ambas posiciones hacemos la siguiente operación:

El siguiente paso es calcular el ángulo de las sombras haciendo sus respectivas tangentes:

Ahora fijémonos en el siguiente diagrama:

                                                                                Los rayos solares inciden paralelamente sobre la superficie de la Tierra, creando las sombres cuyos ángulos hemos calculado previamente.



El ángulo a resulta de la la suma de a1 y a2

a = a1 + a2

                              

 Por último hacemos una sencilla proporción:


y despejamos el radio:

Asombrosamente nuestra aproximación del radio terrestre es bastante aproximada al valor
real (6371 km).

E absoluto = 6371 - 6457 = 86
E relativo = 86 / 6371 = 1,33 %

Arquímedes y el Principio Fundamental de la Hidrostática

NUESTRA ENTRADA O INFORME:

“Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado". Como ya sabemos Arquímedes es el padre de la hidrostática y con esta actividad pretendemos demostrar sus palabras de forma práctica.

En este informe experimental se nos ha dado una serie de instrucciones y se nos han pedido una serie de cosas. Primero, se nos daban unos instrumentos (el dinamómetro, la báscula y el calibre) y se nos pedía que dijéramos sus características, haciendo un especial hincapié en la diferencia entre precisión y exactitud. Además, teníamos que indicar la precisión de cada aparato de medida. A continuación, se nos pedía indicar en que unidades se miden el peso, la masa y la velocidad, y que dijésemos que magnitudes son básicas y cuáles son variadas.

A continuación se planteaba el principal problema. Se tienen dos esferas metálicas de distinta densidad pero con el mismo volumen. Al pesarlas, la esfera a tiene una masa de 68,5g, mientras que la esfera b tiene una masa de 22,5g. Se suspenden en un dinamómetro y se toma su medida en Newtons. Se nos pide que, averigüemos la masa de las esferas mediante la fórmula P=mg y que indicásemos nuestros procedimientos. Tras esto, se nos daba la medida de los diámetros de las esferas y, como ya disponíamos de todos los datos necesarios, se nos pedía que calculásemos el volumen de las esferas. Tras esto, se nos pedía que sacásemos conclusiones y que calculásemos el empuje. Se nos daba este video explicatorio:

Los instrumentos utilizados para realizar el experimento son los siguientes:

• Dinamómetro:

Un dinamómetro es un instrumento de medida utilizado para medir fuerzas, magnitud derivada de SI. Su unidad son los Newtons.  

En nuestro caso, lo utilizaremos para medir el peso de los dos objetos que vamos a estudiar, la esfera negra y la plateada.

El dinamómetro basa su funcionamiento en la ley de Hooke, gracias a la cual podemos hallar el peso de ambas esferas calculando la expansión del muelle interno, del cual cuelga el objeto que queremos pesar. En el siguiente dibujo podemos ver una simple explicación del funcionamiento de un dinamómetro analógico.

• Báscula:

Una báscula es un instrumento de medida que es capaz de medir la masa de un cuerpo gracias a la presión ejercida por éste sobre la superficie de la báscula. La masa, magnitud fundamental, que mide la báscula se expresa en el Sistema Internacional de Unidades con la unidad del kilogramo. Sin embargo, este tipo de básculas de laboratorio están pensadas para medir masas pequeñas, por lo que expresan la masa en gramos como se ve en la siguiente imagen. (La báscula está mostrando la masa de la esfera como 22,5 gramos)

• Calibre:

El calibre o pie de rey es un instrumento que sirve para medir longitudes relativamente pequeñas. La longitud es una magnitud usada para expresar distancias, y es una magnitud fundamental del SI. Su unidad básica del SI es el metro, pero al igual que con la báscula anterior, está ajustada para medir longitudes muy pequeñas y usa el milímetro como unidad.

Para realizar este experimento es necesario también conocer el volumen de las esferas que vamos a emplear. El volumen de un objeto tridimensional podría definirse como su capacidad. La magnitud volumen es una magnitud derivada de la longitud, como podemos ver en su fórmula:

Por lo tanto si la unidad básica en el SI de longitud es el metro, al ser el volumen la longitud al cubo, la unidad de volumen será el metro cúbico (m3)

Todos los instrumentos poseen unas determinadas características importantes para conocer la veracidad de sus resultados. Estas características son las que llamamos cualidades de los aparatos de medida.

La sensibilidad se puede definir como el desplazamiento del marcador de medida.

Se trata de la mínima variación en la magnitud de medida que puede apreciar el aparato. Una báscula de laboratorio que puede medir hasta los miligramos es más precisa que una de baño que solo llega a precisar los kilogramos.

En el caso de los aparatos analógicos, la sensibilidad es la la mitad de su división más pequeña. Por lo tanto la sensibilidad del dinamómetro es de 0.01 N, la de la báscula de 0.1 g y la del calibre de 0.05 mm.

(Explicación de la sensibilidad en aparatos analógicos)

La precisión de un aparato depende de lo que se desvía respecto del valor verdadero, al medir una magnitud. Un aparato es preciso si los errores absolutos (desviación de lo que mide del "valor verdadero") que se producen al usarlo son mínimos. El valor que da en cada medida se desvía poco del "valor verdadero".

La exactitud es la cualidad de un aparato que varía según si logra o no, el valor verdadero de la propiedad que se mide. El instrumento será más exacto cuanto más veces consiga medir de forma correcta la magnitud en cuestión.

Ayudándonos de los aparatos antes mencionados hemos medido la masa y el peso de dos esferas, una plateada y otra negra, de la cuales va a tratar el experimento. A continuación procederemos a verificar que la masa de nuestras esferas es correcta por medio de una fórmula.

En la siguiente imagen se puede observar cómo encontramos el peso de ambas esferas usando el dinamómetro:

Esfera plateada                                                                     Esfera negra

En esta otra se observa la masa de cada una proporcionada por la báscula:

          Esfera plateada                                                                                   Esfera negra

Medidas:

	Bola Plateada	Bola Negra
Masa	68.5 g	22.5 g
Peso	0.67 N	0.22 N
Masa t	?	?

Para la verificación tendremos que recurrir a la ecuación del peso:

En esta ecuación se especifica que el peso es igual a la masa por la aceleración, siendo esta la fuerza de la gravedad. g = 9.8 m/s2

Esfera plateada:                                                                    Esfera negra:

Al realizar las ecuaciones podemos rellenar las casillas que nos quedaban en la tabla

	Bola Plateada	Bola Negra
Masa	68.5 g	22.5 g
Peso	0.67 N	0.22 N
Masa t	68,4 g	22.4 g

Como se puede observar en los resultados hay un ligero error entre la masa determinada por la balanza y la masa teórica. Tanto en el caso de la esfera plateada como en el de la esfera negra la discrepancia es de 0,1 g.

Cuando se realiza un experimento, es casi inevitable que se cometa algún error en las medidas. Estos errores pueden ser de dos tipos: sistemáticos o accidentales.

Los sistemáticos son los que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento, pueden ser errores de calibración en los aparatos o condiciones de experimentación no apropiadas.

Los accidentales son debidos a causas imprevistas como cambios durante el experimento de las condiciones del entorno o fallos de apreciación relacionados con la vista o el oído.

En este caso pensamos que lo más probable es que se haya producido un error sistemático relacionado con un fallo en la calibración del aparato, ya que en ambas medidas obtenemos un error de 0.1 g.

Por otra parte medimos el diámetro de las esferas con el calibre para calcular su volumen y posteriormente su densidad. Ambas miden 2.6 cm de diámetro.

Empezamos a calcular partiendo de la fórmula del volumen de una esfera.

 

Una vez tenemos el volumen, continuamos para calcular la densidad.

Esfera plateada                                                  Esfera negra

A continuación hemos podido comprobar la fuerza de empuje que ejerce el agua en las dos esferas.

En el caso de la plateada:

	Esfera Plateada	Esfera Negra
Peso	0.68 N	0.22 N
Peso aparente	0.59 N	0.14 N

Con una sencilla operación podemos averiguar a cuánto equivale la fuerza  de empuje:

Esfera Plateada                                     Esfera Negra

                

Sin embargo estos valores experimentales deberían de ser contrastados con las predicciones teóricas.

Según el principio de Arquímedes el empuje es equivalente al peso del volumen de fluido desalojado por el cuerpo. Por lo tanto:

El la única magnitud obtenida de forma experimental es el volumen previamente calculado, la densidad del agua y la gravedad en La Tierra ya se conocen de antemano.

Sabiendo esto empezamos con los cálculos (la misma operación vale para ambos ya que tienen el mismo volumen)

Como se puede observar, los resultados teóricos y los experimentales concuerdan.

	Esfera Plateada	Esfera Negra
Empuje E	0.08 N	0.08 N
Empuje T	0.08 N	0.08 N

Finalmente hemos concluido que para calcular la fuerza del empuje, la gravedad es la única magnitud constante (a menos que realizaramos el experimento fuera del planeta). No obstante el volumen del cuerpo y la densidad del fluido son los datos que hacen variar el resultado.

También nos hemos dado cuenta de que ambas esferas tienen una densidad mayor a la del agua, y que si las dejásemos caer en un recipiente con agua, se hundirían. Sin embargo, en nuestro experimento no lo hacen debido a que el muelle del dinamómetro ejerce también una fuerza hacia arriba, al tender a comprimirse el muelle, llamada fuerza de Hooke, que junto con el empuje, permiten a nuestras esferas flotar pese a tener una densidad mayor a la del agua.

Hemos descubierto que la esfera negra está compuesta de aluminio: